Đường thẳng đi qua I song song với BC cắt AB tại D và AC tại E, ta có các hình thang sau: BDEC, BDIC, BIEC

DE // BC (theo cách vẽ)

⇒ ∠ I 1 =  ∠ B 1 (hai góc so le trong)

Mà  ∠ B 1 =  ∠ B 2 (gt)

Suy ra:  ∠ I 1 =  ∠ B 2

Do đó: ∆ BDI cân tại D ⇒ DI = DB (1)

Ta có:  ∠ I 2 =  ∠ C 1 (so le trong)

∠ C 1 =  ∠ C 2 (gt)

Suy ra:  ∠ I 2 =  ∠ C 2 do đó:  ∆ CEI cân tại E

⇒ IE = EC (2)

DE = DI + IE (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: DE = BD + CE

b: Xét ΔDBI có 

\(\widehat{DBI}=\widehat{DIB}\)

nên ΔDBI cân tại D

Xét ΔEIC có \(\widehat{EIC}=\widehat{ECI}\)

nên ΔEIC cân tại E

Ta có: DE=DI+IE

nên DE=DB+EC

Vậy: BDEC là hình thang có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên

\(a,\) Các hình thang \(BDEC;BDIC;BIEC\)

\(b,DE//BC.nên.\widehat{B_1}=\widehat{I_1}\left(so.le.trong\right)\)

Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(t/c.phân.giác\right)\) nên \(\widehat{B_2}=\widehat{I_1}\Rightarrow\Delta DIB\) cân tại D

\(\Rightarrow DI=DB\left(1\right)\)

\(DE//BC.nên.\widehat{C_1}=\widehat{I_2}\left(so.le.trong\right)\)

Mà \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\left(t/c.phân.giác\right)\) nên \(\widehat{C_2}=\widehat{I_2}\Rightarrow\Delta IEC\) cân tại E

\(\Rightarrow EI=EC\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow DI+IE=BD+EC\\ \Rightarrow DE=BD+CE\left(Đpcm\right)\)

a,

Do \(DE||BC\) (gt) \(\Rightarrow BDEC\) là hình thang

Do \(DE||BC\Rightarrow DI||BC\Rightarrow BDIC\) là hình thang

Do \(DE||BC\Rightarrow IE||BC\Rightarrow BIEC\) là hình thang

b.

Do \(DI||BC\Rightarrow\widehat{CBI}=\widehat{BID}\) (so le trong)

Mà \(\widehat{CBI}=\widehat{DBI}\) (do BI là phân giác góc B)

\(\Rightarrow\widehat{DBI}=\widehat{BID}\)

\(\Rightarrow\Delta BDI\) cân tại D

Tương tự ta có \(\widehat{ICB}=\widehat{CIE}\) (so le trong) và \(\widehat{ICB}=\widehat{ICE}\) (do IC là phân giác góc C)

\(\Rightarrow\widehat{CIE}=\widehat{ICE}\Rightarrow\Delta IEC\) cân tại E

c.

Từ câu b, do \(\Delta BDI\) cân \(\Rightarrow DB=DI\)

Do \(\Delta IEC\) cân \(\Rightarrow IE=CE\)

\(\Rightarrow BD+CE=DI+IE=DE\left(đpcm\right)\)

a,

Do $DE||BC$ (gt) $\Rightarrow BDEC$ là hình thang

Do $DE||BC\Rightarrow DI||BC\Rightarrow BDIC$ là hình thang

Do $DE||BC\Rightarrow IE||BC\Rightarrow BIEC$ là hình thang

b.

Do ��∣∣��⇒���^=���^DI∣∣BC⇒CBI=BID (so le trong)

Mà ���^=���^CBI=DBI (do BI là phân giác góc B)

⇒���^=���^⇒DBI=BID

$\Rightarrow \Delta BDI$ cân tại D

Tương tự ta có ���^=���^ICB=CIE (so le trong) và ���^=���^ICB=ICE (do IC là phân giác góc C)

⇒���^=���^⇒Δ���⇒CIE=ICE⇒ΔIEC cân tại E

c.

Từ câu b, do $\Delta BDI$ cân $\Rightarrow DB=DI$

Do $\Delta IEC$ cân $\Rightarrow IE=CE$

$\Rightarrow BD+CE=DI+IE=$

b) Ta có: DE//BC ( BDCE là hình thang )

      => DI, IE//BC

    Ta có: DI//BC (cmt)

      => Góc CBI = góc DIB ( cặp góc so le trong )

    Mà góc DBI = góc CBI ( BI là tia phân giác của góc B)

      => Góc DIB = góc DBI 

      => DB = DI ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện) (1)

    Ta có: IE//BC ( đã cm ở đầu bài)

      => Góc EIC = góc BCI ( cặp góc so le trong)

     Mà góc ECI = góc BCI (CI là tia phân giác của góc C)

      => Góc EIC = góc ECI

      => EI = EC ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện) (2)

   Từ (1) và (2) => DE = DB + EC

      => Đáy DE trong hình thang BDEC bằng tổng 2 cạnh bên.

b) Ta có: \(\widehat{DBI}=\widehat{IBC}\)(gt)

mà \(\widehat{DIB}=\widehat{IBC}\)(hai góc so le trong, DI//BC)

nên \(\widehat{DBI}=\widehat{DIB}\)

hay ΔDIB cân tại D

Ta có: \(\widehat{EIC}=\widehat{ICB}\)(hai góc so le trong, IE//BC)

mà \(\widehat{ECI}=\widehat{ICB}\)(gt)

nên \(\widehat{EIC}=\widehat{ECI}\)

hay ΔEIC cân tại E